方程式の練習問題

方程式練習問題【二次方程式の文章問題~自然数、整数について~】

二次方程式の文章問題

自然数や整数についての練習問題です。

解説記事はこちら

>二次方程式の利用(文章問題)【解き方まとめ】

方程式練習問題【二次方程式の文章問題~自然数、整数について~】

次の問いに答えなさい。

(1)ある数を二乗すると、もとの数の6倍より7大きくなる。この数を求めなさい。

(2)連続する2つの自然数の二乗の和が113であるとき、この2つの自然数を求めなさい。

(3)連続する3つの自然数があり、これらの自然数で、大きい方の2つの数の積は、小さい方の2つの自然数の積の2倍となる。このような3つの自然数を求めなさい。

(4)大小2つの整数があり、その差は7で、積は60である。このような2つの整数を求めなさい。

(5)連続する3つの偶数があり、真ん中の数の7倍が、他の数の積より4小さい。このような連続する3つの偶数を求めなさい。

練習問題の解答&解説

(1)ある数を二乗すると、もとの数の6倍より7大きくなる。この数を求めなさい。

解答はこちら

答え

$$7,-1$$

ある数を\(x\)とすると

$$\begin{eqnarray}x^2&=&6x+7\\[5pt]x^2-6x-7&=&0\\[5pt](x-7)(x+1)&=&0\\[5pt]x=7,-1&& \end{eqnarray}$$

 

(2)連続する2つの自然数の二乗の和が113であるとき、この2つの自然数を求めなさい。

解答はこちら

答え

$$7,8$$

連続する2つの自然数のうち、小さいほうの数を\(x\)とすると

大きい方の数は、\(x+1\) と表すことができます。

これを利用して方程式をつくっていきましょう。

$$\begin{eqnarray}x^2+(x+1)^2&=&113\\[5pt]x^2+x^2+2x+1&=&113\\[5pt]2x^2+2x-112&=&0\\[5pt]x^2+x-56&=&0\\[5pt](x+8)(x-7)&=&0\\[5pt]x=-8,7&&\end{eqnarray}$$

\(x\)は自然数ということなので、マイナスの値は条件に合いませんね。

よって、\(x=7\)となります。

小さい自然数が7と分かったので、大きい方は8。

 

(3)連続する3つの自然数があり、これらの自然数で、大きい方の2つの数の積は、小さい方の2つの自然数の積の2倍となる。このような3つの自然数を求めなさい。

解答はこちら

答え

$$2,3,4$$

一番小さい自然数を\(x\)とすると、連続する3つの自然数は

\(x, x+1, x+2\) と表すことができます。

これを用いて方程式をつくっていきましょう。

$$\begin{eqnarray}(x+1)(x+2)&=&x(x+1)\times 2\\[5pt]x^2+3x+2&=&2x^2+2x\\[5pt]-x^2+x+2&=&0\\[5pt]x^2-x-2&=&0\\[5pt](x-2)(x+1)&=&0\\[5pt]x=2,-1&&\end{eqnarray}$$

\(x\) は自然数ということから、\(-1\) の値は条件に合いませんね。

よって、連続する3つの自然数は、\(2,3,4\) となります。

 

(4)大小2つの整数があり、その差は7で、積は60である。このような2つの整数を求めなさい。

解答はこちら

答え

$$5と12, -12と-5$$

小さいほうの数を\(x\) とすると、差が7であるということから

大きい方の数は\(x+7\) と表すことができます。

これを用いて方程式をつくっていきましょう。

$$\begin{eqnarray}x(x+7)&=&60\\[5pt]x^2+7x-60&=&0\\[5pt](x+12)(x-5)&=&0\\[5pt]x=-12,5&&\end{eqnarray}$$

\(x=-12\) のとき、大きい方の数は\(-5\)

\(x=5\) のとき、大きい方の数は\(12\)

 

(5)連続する3つの偶数があり、真ん中の数の7倍が、他の数の積より4小さい。このような連続する3つの偶数を求めなさい。

解答はこちら

答え

$$6,8,10$$

連続する3つの偶数のうち、真ん中の数を\(x\)とすると

一番小さい偶数は、\(x-2\)

一番大きい偶数は、\(x+2\) と表すことができます。

これを用いて方程式をつくっていきましょう。

$$\begin{eqnarray}7x&=&(x+2)(x-2)-4\\[5pt]7x&=&x^2-4-4\\[5pt]0&=&x^2-7x-8\\[5pt]0&=&(x-8)(x+1)\\[5pt]x&=&-1,8\end{eqnarray}$$

\(x=-1\) は偶数という問題の条件に合わないので、\(x=8\) となります。

よって、連続する3つの偶数のうち真ん中の数が8だとわかったので

6,8,10が答えとなります。