二次方程式の文章問題
道幅についての練習問題です。
解説記事はこちら
方程式練習問題【二次方程式の文章問題～道幅について～】
次の問いに答えなさい。
（1）下の図のように、縦が10m、横16mの長方形の畑がある。この畑に同じ幅の道を作ったところ、残りの畑の面積が112㎡になった。この道の幅を求めなさい。
（2）下の図のように、横が縦より10m長い土地がある。この土地に道幅2mの道を作り、残った部分を花壇とした。花壇の面積が56㎡のとき、この土地の縦の長さを求めなさい。
（3）下の図のように、横の長さが縦の長さの2倍になっている長方形の土地がある。この土地に道幅2mの道を作った。残った部分の土地の面積が60㎡になった。この土地の縦の長さを求めなさい。
練習問題の解答＆解説
（1）下の図のように、縦が10m、横16mの長方形の畑がある。この畑に同じ幅の道を作ったところ、残りの畑の面積が112㎡になった。この道の幅を求めなさい。
答え
$$2m$$
道の幅を\(x\)mとするとし、道を端に動かして考えると次のようになります。
$$\begin{eqnarray}(10-x)(16-x)&=&112\\[5pt]160-26x+x^2&=&112\\[5pt]x^2-26x+48&=&0\\[5pt](x-2)(x-24)&=&0\\[5pt]x=2,24&&\end{eqnarray}$$
\(x=24\) は道幅の長さとして条件に合わないので、\(x=2\) となります。
（2）下の図のように、横が縦より10m長い土地がある。この土地に道幅2mの道を作り、残った部分を花壇とした。花壇の面積が56㎡のとき、この土地の縦の長さを求めなさい。
答え
$$8m$$
長方形の土地の縦の長さを\(x\)mとすると、横の長さは \((x+10)\)mと表すことができます。
さらに、道を幅に動かして考えると次のようになります。
$$\begin{eqnarray}(x-4)(x+6)&=&56\\[5pt]x^2+2x-24&=&56\\[5pt]x^2+2x-80&=&0\\[5pt](x+10)(x-8)&=&0\\[5pt]x=-10,8&&\end{eqnarray}$$
\(x=-10\) は土地の長さとして条件に合わないので、\(x=8\) となります。
（3）下の図のように、横の長さが縦の長さの2倍になっている長方形の土地がある。この土地に道幅2mの道を作った。残った部分の土地の面積が60㎡になった。この土地の縦の長さを求めなさい。
答え
$$6m$$
長方形の土地の縦の長さを\(x\)mとすると、横の長さは \(2x\)mと表すことができます。
さらに、道を幅に動かして考えると次のようになります。
道が斜めになっていますが、まっすぐに直して考えましょう。
$$\begin{eqnarray}x(2x-2)&=&60\\[5pt]2x^2-2x-60&=&0\\[5pt]x^2-x-30&=&0\\[5pt](x-6)(x+5)&=&0\\[5pt]x=6,-5&&\end{eqnarray}$$
\(x=-5\) は土地の長さとして条件に合わないので、\(x=6\) となります。
