二次方程式の解き方

二次方程式の利用(文章問題)【解き方まとめ】

二次方程式の利用(文章問題)について、さまざまなパターンの解き方をまとめておきます。

二次方程式の文章題で、解き方に迷ったときにはこの記事を参考にしてください。

 

二次方程式の解き方につていは、こちらでまとめています。

>【二次方程式の解き方まとめ!】中学数学で学習する計算やり方を解説!

ご参考にどうぞ!

 

この記事を通して以下のことが理解できます。

記事の要約
  1. 二次方程式の利用の解き方手順
  2. さまざまなパターンの文章問題の解き方

自然数についての利用問題

連続する3つの自然数がある。大きい方の2つの数の積が、3つの数の和に等しいとき、この3つの自然数を求めなさい。

連続する3つの自然数とは、このように1つずつ数が増えていく関係にあります。

だから、一番小さい自然数を \(x\) とすると

このように表すことができます。

それぞれの自然数を文字で表すことができれば、あとは式を作るだけ!

大きい方の2つの数の積とは、\((x+1)(x+2)\)

3つの数の和とは、\(x+(x+1)+(x+2)\) と表せるので

$$(x+1)(x+2)=x+(x+1)+(x+2)$$

このように二次方程式をつくることができます。

計算過程はこちら

$$\begin{eqnarray}(x+1)(x+2)&=&x+(x+1)+(x+2)\\[5pt]x^2+3x+2&=&3x +3\\[5pt]x^2-1&=&0\\[5pt](x+1)(x-1)&=&0\\[5pt]x&=&1,-1\end{eqnarray}$$

この二次方程式を解くと、\(x=1,-1\) となるのですが

問題文より、\(x\) は自然数とあるので \(x=-1\) は不適となります。

よって、\(x=1\) となります。

 

つまり、一番小さい自然数である \(x\) が1ということなので、他の自然数は2、3だと分かります。

答え

$$1, 2, 3$$

練習問題はこちら

>方程式練習問題【二次方程式の文章問題~自然数、整数について~】

図形面積の利用問題

長さ28㎝のひもで長方形を作り、面積が48㎠になるようにしたい。このとき、長方形の縦と横の長さを求めなさい。

長さ28㎝のひもで長方形を作ると、縦と横の長さを合わせると半分の14㎝になるということが分かります。

すると、長方形の縦の長さを\(x\)㎝とすると、横の長さは\((14-x)\)㎝と表すことができます。

よって、長方形の面積は \(x(14-x)\) と表せるので

$$x(14-x)=48$$

という二次方程式をつくることができます。

計算過程はこちら

$$\begin{eqnarray}x(14-x)&=&48\\[5pt]-x^2+14x-48&=&0\\[5pt]x^2-14x+48&=&0\\[5pt](x-8)(x-6)&=&0\\[5pt]x&=&6,8\end{eqnarray}$$

この二次方程式を解くと、\(x=6,8\) となります。

縦が6㎝の場合、横は \(14-6=8\)㎝となり

縦が8㎝の場合、横は \(14-8=6\)㎝となります。

どちらも問題の条件にはあっているので、このように2パターンの答えが考えられますね。

答え

$$縦:6㎝  横:8㎝$$

$$縦:8㎝  横:6㎝$$

練習問題はこちら

>方程式練習問題【二次方程式の文章問題~図形面積について~】

花壇の道幅を求める利用問題

縦15m、横18mの長方形の形をした土地に、同じ道幅の道路をつけて、残りの土地を花壇にしました。花壇全体の面積が180㎡であるとき、道路の道幅を求めなさい。

道幅の問題では、道を端に移動させてから面積を考える!

道路の道幅を\(x\)mとし、道路を端に動かして考えると次のような図になります。

すると、花壇全体の面積は、横\((18-x)\)、縦\((15-x)\)の長方形と考えれるので

$$花壇全体の面積=(18-x)(15-x)$$

このように表すこととができます。

よって、方程式は \((18-x)(15-x)=180\) となります。

計算過程はこちら

$$\begin{eqnarray}(18-x)(15-x)&=&180\\[5pt]270-18x-15x+x^2&=&180\\[5pt]x^2-33x+90&=&0\\[5pt](x-3)(x-30)&=&0\\[5pt]x&=&3,30\end{eqnarray}$$

この二次方程式を解くと、\(x=3,30\) となるのですが

道幅を\(x\)として考えているのに、30という値は元の土地の大きさを超えてしまってますからね、問題の条件に合いません。

よって、\(x=3\) となります。

答え

$$3m$$

 

次のように道が増えることもあります。

だけど、基本通りに道を端に動かして考えればOKです。

 

練習問題はこちら

>方程式練習問題【二次方程式の文章問題~道幅について~】

容積の利用問題

横が縦より5㎝長い長方形の紙がある。この紙の四隅から1辺が2㎝の正方形を切り取り、直方体の容器を作ったら、容積が100㎝³になった。はじめの紙の縦と横の長さを求めなさい。

$$容積=縦\times 横\times 高さ$$

容器を作ったとき、縦、横、高さになる部分を文字を使って表す。

長方形の紙の縦の長さを\(x\)㎝とすると、横の長さは\((x+5)\)㎝と表すことができます。

そこから四隅を切り取り、容器の長さを文字を使って表すと次のようになります。

容器の縦にあたる部分は、\(x-2-2=(x-4)\)㎝

容器の横にあたる部分は、\((x+5)-2-2=(x+1)\)㎝

容器の高さにあたる部分は、\(2\)㎝

以上より、容器の容積は \(2(x-4)(x+1)\) と表すことができます。

よって、次のように方程式がつくれます。

$$2(x-4)(x+1)=100$$

計算過程はこちら

$$\begin{eqnarray}2(x-4)(x+1)&=&100\\[5pt](x-4)(x+1)&=&50\\[5pt]x^2-3x-4&=&50\\[5pt]x^2-3x-54&=&0\\[5pt](x-9)(x+6)&=&0\\[5pt]x&=&9,-6\end{eqnarray}$$

この二次方程式を解くと、\(x=9,-6\) となるのですが

紙の長さを\(x\)として考えているので、\(-6\)というのは問題の条件に合いませんね。

よって、\(x=9\) となります。

これにより、縦の長さが9㎝ということが分かったので、横は縦より5㎝長いということから14㎝であることが求まります。

答え

$$縦:9㎝  横:14㎝$$

 

練習問題はこちら

>方程式練習問題【二次方程式の文章問題~箱の容積について~】

動点による三角形の利用問題

下の図のような一辺10㎝の正方形ABCDの辺上を動く2点P、Qがある。点Pは頂点Aは出発して、毎秒2㎝の速さで点Dに向かって動いていく。点Qは頂点Bを出発して、毎秒1㎝の速さで点Aに向かって動いていく。2点P、Qが同時に出発するとき、3点A、P、Qを頂点とする△APQの面積が16㎠となるのは何秒後か求めなさい。ただし、点Pが点Dに到達するまでのこととする。

動く点が進んだ長さを表す!

毎秒1㎝なら、\(x\)秒後には \(x\)㎝

毎秒2㎝なら、\(x\)秒後には \(2x\)㎝

\(x\)秒後に△APQは面積16㎠になるとする。

すると、辺APと辺AQは次のように表すことができます。

よって、三角形の面積は次のように表すことができます。

$$2x\times (10-x)\times \frac{1}{2}=x(10-x)$$

この面積が16㎠になるということから

$$x(10-x)=16$$

このように二次方程式をつくることができます。

計算過程はこちら

$$\begin{eqnarray}x(10-x)&=&16\\[5pt]10x-x^2&=&16\\[5pt]-x^2+10x-16&=&0\\[5pt]x^2-10x+16&=&0\\[5pt](x-8)(x-2)&=&0\\[5pt]x&=&2,8\end{eqnarray}$$

この二次方程式を解くと、\(x=2,8\) となるのですが

点Pが点Dに到達するまでの時間は5秒なので、8秒というのは問題の条件に合いませんね。

よって、\(x=2\)となります。

答え

$$2秒後$$

 

練習問題はこちら

>方程式練習問題【二次方程式の文章問題~動点について~】

カレンダーの利用問題

ある月のカレンダーがあります。ある日の真上の数の二乗と左横の二乗の和が410になるとき、ある日の日にちを求めなさい。

カレンダーの日にちの位置関係をおさえておこう!

ある日を\(x\) と表すと、それぞれの位置にある日にちは次のように表せます。

ある日を\(x\)とすると、真上の日にちは\((x-7)\)、左横の日にちは\((x-1)\)と表すことができます。

「ある日の真上の数の二乗と左横の二乗の和が410になる」ということから

$$(x-7)^2+(x-1)^2=410$$

という二次方程式をつくることができます。

計算過程はこちら

$$\begin{eqnarray}(x-7)^2+(x-1)^2&=&410\\[5pt]2x^2-16x-360&=&0\\[5pt]x^2-8x-180&=&0\\[5pt](x-18)(x+10)&=&0\\[5pt]x&=&18,-10\end{eqnarray}$$

この二次方程式を解くと、\(x=18,-10\) となるのですが

カレンダーの日にちとして\(-10\)というのは、条件として間違っていますよね。

だから、\(x=18\) となります。

答え

$$18日$$

二次方程式の利用問題まとめ!

二次方程式の利用問題は、そこまでパターンが多くありません。

ここで紹介しているようなことをしっかりと理解していれば、入試問題であっても対応することができるでしょう(^^)

あとは、いろんな問題を解きながら理解を深めていってくださいね!

 

練習問題はこちら

>準備中