二次方程式の利用（文章問題）【解き方まとめ】

二次方程式の利用（文章問題）について、さまざまなパターンの解き方をまとめておきます。

二次方程式の文章題で、解き方に迷ったときにはこの記事を参考にしてください。

二次方程式の解き方につていは、こちらでまとめています。

>【二次方程式の解き方まとめ！】中学数学で学習する計算やり方を解説！

ご参考にどうぞ！

この記事を通して以下のことが理解できます。

記事の要約

二次方程式の利用の解き方手順
さまざまなパターンの文章問題の解き方

Contents

自然数についての利用問題
図形面積の利用問題
花壇の道幅を求める利用問題
容積の利用問題
動点による三角形の利用問題
カレンダーの利用問題
二次方程式の利用問題まとめ！

自然数についての利用問題

連続する3つの自然数がある。大きい方の2つの数の積が、3つの数の和に等しいとき、この3つの自然数を求めなさい。

連続する3つの自然数とは、このように1つずつ数が増えていく関係にあります。

だから、一番小さい自然数を $x$ とすると

このように表すことができます。

それぞれの自然数を文字で表すことができれば、あとは式を作るだけ！

大きい方の2つの数の積とは、$(x+1)(x+2)$

3つの数の和とは、$x+(x+1)+(x+2)$ と表せるので

$$(x+1)(x+2)=x+(x+1)+(x+2)$$

このように二次方程式をつくることができます。

計算過程はこちら

$$\begin{eqnarray}(x+1)(x+2)&=&x+(x+1)+(x+2)\\[5pt]x^2+3x+2&=&3x +3\\[5pt]x^2-1&=&0\\[5pt](x+1)(x-1)&=&0\\[5pt]x&=&1,-1\end{eqnarray}$$

この二次方程式を解くと、$x=1,-1$ となるのですが

問題文より、$x$ は自然数とあるので $x=-1$ は不適となります。

よって、$x=1$ となります。

つまり、一番小さい自然数である $x$ が1ということなので、他の自然数は2、3だと分かります。

答え

$$1,　2,　3$$

練習問題はこちら

>方程式練習問題【二次方程式の文章問題～自然数、整数について～】

図形面積の利用問題

長さ28㎝のひもで長方形を作り、面積が48㎠になるようにしたい。このとき、長方形の縦と横の長さを求めなさい。

長さ28㎝のひもで長方形を作ると、縦と横の長さを合わせると半分の14㎝になるということが分かります。

すると、長方形の縦の長さを$x$㎝とすると、横の長さは$(14-x)$㎝と表すことができます。

よって、長方形の面積は $x(14-x)$ と表せるので

$$x(14-x)=48$$

という二次方程式をつくることができます。

計算過程はこちら

$$\begin{eqnarray}x(14-x)&=&48\\[5pt]-x^2+14x-48&=&0\\[5pt]x^2-14x+48&=&0\\[5pt](x-8)(x-6)&=&0\\[5pt]x&=&6,8\end{eqnarray}$$

この二次方程式を解くと、$x=6,8$ となります。

縦が6㎝の場合、横は $14-6=8$㎝となり

縦が8㎝の場合、横は $14-8=6$㎝となります。

どちらも問題の条件にはあっているので、このように2パターンの答えが考えられますね。

答え

$$縦：6㎝　　横:8㎝$$

$$縦：8㎝　　横:6㎝$$

練習問題はこちら

>方程式練習問題【二次方程式の文章問題～図形面積について～】

花壇の道幅を求める利用問題

縦15m、横18mの長方形の形をした土地に、同じ道幅の道路をつけて、残りの土地を花壇にしました。花壇全体の面積が180㎡であるとき、道路の道幅を求めなさい。

道幅の問題では、道を端に移動させてから面積を考える！

道路の道幅を$x$mとし、道路を端に動かして考えると次のような図になります。

すると、花壇全体の面積は、横$(18-x)$、縦$(15-x)$の長方形と考えれるので

$$花壇全体の面積=(18-x)(15-x)$$

このように表すこととができます。

よって、方程式は $(18-x)(15-x)=180$ となります。

計算過程はこちら

$$\begin{eqnarray}(18-x)(15-x)&=&180\\[5pt]270-18x-15x+x^2&=&180\\[5pt]x^2-33x+90&=&0\\[5pt](x-3)(x-30)&=&0\\[5pt]x&=&3,30\end{eqnarray}$$

この二次方程式を解くと、$x=3,30$ となるのですが

道幅を$x$として考えているのに、30という値は元の土地の大きさを超えてしまってますからね、問題の条件に合いません。

よって、$x=3$ となります。

答え

$$3m$$

次のように道が増えることもあります。

だけど、基本通りに道を端に動かして考えればOKです。

練習問題はこちら

>方程式練習問題【二次方程式の文章問題～道幅について～】

容積の利用問題

横が縦より5㎝長い長方形の紙がある。この紙の四隅から1辺が2㎝の正方形を切り取り、直方体の容器を作ったら、容積が100㎝³になった。はじめの紙の縦と横の長さを求めなさい。

$$容積=縦\times 横\times 高さ$$

容器を作ったとき、縦、横、高さになる部分を文字を使って表す。

長方形の紙の縦の長さを$x$㎝とすると、横の長さは$(x+5)$㎝と表すことができます。

そこから四隅を切り取り、容器の長さを文字を使って表すと次のようになります。

容器の縦にあたる部分は、$x-2-2=(x-4)$㎝

容器の横にあたる部分は、$(x+5)-2-2=(x+1)$㎝

容器の高さにあたる部分は、$2$㎝

以上より、容器の容積は $2(x-4)(x+1)$ と表すことができます。

よって、次のように方程式がつくれます。

$$2(x-4)(x+1)=100$$

計算過程はこちら

$$\begin{eqnarray}2(x-4)(x+1)&=&100\\[5pt](x-4)(x+1)&=&50\\[5pt]x^2-3x-4&=&50\\[5pt]x^2-3x-54&=&0\\[5pt](x-9)(x+6)&=&0\\[5pt]x&=&9,-6\end{eqnarray}$$

この二次方程式を解くと、$x=9,-6$ となるのですが

紙の長さを$x$として考えているので、$-6$というのは問題の条件に合いませんね。

よって、$x=9$ となります。

これにより、縦の長さが9㎝ということが分かったので、横は縦より5㎝長いということから14㎝であることが求まります。

答え

$$縦：9㎝　　横：14㎝$$

練習問題はこちら

>方程式練習問題【二次方程式の文章問題～箱の容積について～】

動点による三角形の利用問題

下の図のような一辺10㎝の正方形ABCDの辺上を動く2点P、Qがある。点Pは頂点Aは出発して、毎秒2㎝の速さで点Dに向かって動いていく。点Qは頂点Bを出発して、毎秒1㎝の速さで点Aに向かって動いていく。2点P、Qが同時に出発するとき、3点A、P、Qを頂点とする△APQの面積が16㎠となるのは何秒後か求めなさい。ただし、点Pが点Dに到達するまでのこととする。