二次方程式の解き方

【二次方程式の判別式】重解?実数解?解なし?それぞれの見分け方を解説!

判別式というものを利用すれば、二次方程式の解の個数を調べることができます。

二次方程式の判別式

\(ax^2+bx+c=0\) の実数解の個数は、判別式 \(D=b^2-4ac\)を用いて

\(D>0\) のとき、異なる2つの実数解をもつ

\(D=0\) のとき、ただ1つの解(重解)をもつ

\(D<0\) のとき、実数解をもたない

このように解の個数を判別することができます。

 

この記事を通して以下のことが理解できます。

記事の要約
  1. 判別式ってなに??
  2. 判別式の使い方とその結果
  3. \(x\)の係数が偶数のときに使える判別式とは

判別式ってなに?

二次方程式って、解の公式を用いると解を求めることができるよね。

解の公式

\(ax^2+bx+c=0\) の解は

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

なので、二次方程式の解は次のように表すことができます。

このように、2つの解を表すことができるんだけど

ルートの中身が0になってしまった場合にはどうなっちゃうだろうか。

このように、両方とも同じ解になっちゃったね。

解が重なって1つだけになったって感じ。

これを重解(じゅうかい)というよ。

 

つまり、解の公式のルートの中身が0になったときには、解は1つだけ(重解)の状態になるってことがわかるね。

 

それじゃ、ルートの中身がマイナスになったらどうだろう。

ルートの中身がマイナスだと…

う、頭が…(^^;)

こんなもの習っていませんね。

だから、このときには二次方程式の実数解はなし!となります。

(高校数学Ⅱではルートの中身がマイナスになる場合も学習するようになります)

 

このように、解の公式のルートの中身に注目することで、その二次方程式の解の個数を調べることができます。

なので、ルートの中身である \(b^2-4ac\) という部分を判別式とよんで、解の判別に利用していくのです。

二次方程式の判別式

\(ax^2+bx+c=0\) の実数解の個数は、判別式 \(D=b^2-4ac\)を用いて

\(D>0\) のとき、異なる2つの実数解をもつ(2個)

\(D=0\) のとき、ただ1つの解(重解)をもつ(1個)

\(D<0\) のとき、実数解をもたない(0個)

このように解の個数を判別することができます。

二次方程式の判別式の使い方!

それでは、実際に判別式を使って解の個数を調べていきましょう。

次の二次方程式の実数解の個数を調べなさい。

$$2x^2+4x+1=0$$

判別式\(D=b^2-4ac\) に当てはめて値を求めてみましょう。

二次方程式から、\(a=2, b=4, c=1\) ということが読み取れるので

$$D=4^2-4\times 2\times 1=16-8=8$$

となります。

判別式の値が \(D>0\) となったので

この二次方程式の実数解は2個あるということがわかりました。

 

次の二次方程式の実数解の個数を調べなさい。

$$9x^2+6x+1=0$$

判別式\(D=b^2-4ac\) に当てはめて値を求めてみましょう。

二次方程式から、\(a=9, b=6, c=1\) ということが読み取れるので

$$D=6^2-4\times 9\times 1=36-36=0$$

となります。

判別式の値が \(D=0\) となったので

この二次方程式の実数解は1個(重解)あるということがわかりました。

 

次の二次方程式の実数解の個数を調べなさい。

$$3x^2-6x+5=0$$

判別式\(D=b^2-4ac\) に当てはめて値を求めてみましょう。

二次方程式から、\(a=3, b=-6, c=5\) ということが読み取れるので

$$D=(-6)^2-4\times 3\times 5=36-60=-24$$

となります。

判別式の値が \(D<0\) となったので

この二次方程式の実数解は0個(実数解なし)あるということがわかりました。

 

 

以上が判別式の使い方でした。

ただただ、\(D=b^2-4ac\) の式に代入し値の符号をチェックするっていうだけですね。

 

判別式の練習問題はこちら

>方程式練習問題【二次方程式~判別式の利用~】

\(x\)の係数が偶数のときに使える判別式

xの係数が偶数のとき

\(ax^2+2b’x+c=0\) の判別式は

$$\frac{D}{4}=b’^2-ac$$

\(x\)の係数が偶数のときには、\(\displaystyle{\frac{D}{4}}\) という、ちょっとラク判別式を利用することができます。

上の公式を見ただけでは分かりにくいので、具体例を使って説明していきます。

次の二次方程式の実数解の個数を調べなさい。

$$4x^2-20x+25=0$$

$$\frac{D}{4}=(-10)^2-4\times 25=100-100=0$$

よって、二次方程式の解は1個(重解)となります。

 

ちょっと計算がラクですね!

\(x\)の係数が偶数であれば、2でくくり残った部分を\(b’\) とする。

そして、\(\frac{D}{4}=b’^2-ac\) に代入する。

 

二次方程式の判別式まとめ!

二次方程式の判別式

\(ax^2+bx+c=0\) の実数解の個数は、判別式 \(D=b^2-4ac\)を用いて

\(D>0\) のとき、異なる2つの実数解をもつ

\(D=0\) のとき、ただ1つの解(重解)をもつ

\(D<0\) のとき、実数解をもたない

このように解の個数を判別することができます。

 

また、\(x\)の係数が偶数のときには

\(ax^2+2b’x+c=0\) の判別式は

$$\frac{D}{4}=b’^2-ac$$

このようにちょっとだけラクに計算することもできます。

 

判別式は丸暗記ではなく、解の公式の一部なんだよってことを頭に入れておいてくださいね!