【二次方程式の判別式】重解？実数解？解なし？それぞれの見分け方を解説！

判別式というものを利用すれば、二次方程式の解の個数を調べることができます。

 

この記事を通して以下のことが理解できます。

判別式ってなに？

二次方程式って、解の公式を用いると解を求めることができるよね。

なので、二次方程式の解は次のように表すことができます。

このように、2つの解を表すことができるんだけど

ルートの中身が0になってしまった場合にはどうなっちゃうだろうか。

このように、両方とも同じ解になっちゃったね。

解が重なって1つだけになったって感じ。

これを重解（じゅうかい）というよ。

 

つまり、解の公式のルートの中身が0になったときには、解は1つだけ（重解）の状態になるってことがわかるね。

 

それじゃ、ルートの中身がマイナスになったらどうだろう。

ルートの中身がマイナスだと…

う、頭が…(^^;)

こんなもの習っていませんね。

だから、このときには二次方程式の実数解はなし！となります。

（高校数学Ⅱではルートの中身がマイナスになる場合も学習するようになります）

 

このように、解の公式のルートの中身に注目することで、その二次方程式の解の個数を調べることができます。

なので、ルートの中身である \(b^2-4ac\) という部分を判別式とよんで、解の判別に利用していくのです。

二次方程式の判別式の使い方！

それでは、実際に判別式を使って解の個数を調べていきましょう。

判別式\(D=b^2-4ac\) に当てはめて値を求めてみましょう。

二次方程式から、\(a=2, b=4, c=1\) ということが読み取れるので

$$D=4^2-4\times 2\times 1=16-8=8$$

となります。

判別式の値が \(D>0\) となったので

この二次方程式の実数解は2個あるということがわかりました。

 

判別式\(D=b^2-4ac\) に当てはめて値を求めてみましょう。

二次方程式から、\(a=9, b=6, c=1\) ということが読み取れるので

$$D=6^2-4\times 9\times 1=36-36=0$$

となります。

判別式の値が \(D=0\) となったので

この二次方程式の実数解は1個(重解)あるということがわかりました。

 

判別式\(D=b^2-4ac\) に当てはめて値を求めてみましょう。

二次方程式から、\(a=3, b=-6, c=5\) ということが読み取れるので

$$D=(-6)^2-4\times 3\times 5=36-60=-24$$

となります。

判別式の値が \(D<0\) となったので

この二次方程式の実数解は0個(実数解なし)あるということがわかりました。

 

 

以上が判別式の使い方でした。

ただただ、\(D=b^2-4ac\) の式に代入し値の符号をチェックするっていうだけですね。

 

判別式の練習問題はこちら

>方程式練習問題【二次方程式～判別式の利用～】

\(x\)の係数が偶数のときに使える判別式

\(x\)の係数が偶数のときには、\(\displaystyle{\frac{D}{4}}\) という、ちょっとラク判別式を利用することができます。

上の公式を見ただけでは分かりにくいので、具体例を使って説明していきます。

$$\frac{D}{4}=(-10)^2-4\times 25=100-100=0$$

よって、二次方程式の解は1個（重解）となります。

 

ちょっと計算がラクですね！

\(x\)の係数が偶数であれば、2でくくり残った部分を\(b’\) とする。

そして、\(\frac{D}{4}=b’^2-ac\) に代入する。

 

二次方程式の判別式まとめ！

 

判別式は丸暗記ではなく、解の公式の一部なんだよってことを頭に入れておいてくださいね！