二次方程式の文章問題
図形の面積についての練習問題です。
解説記事はこちら
方程式練習問題【二次方程式の文章問題～図形面積について～】
次の問いに答えなさい。
（1）ある正方形の縦の長さを2㎝短くし、横の長さを5㎝長くして長方形をつくったところ面積が30㎠になった。もとの正方形の1辺の長さを求めなさい。
（2）下の図のように、長さ8㎝の線分ABがある。この線分AB上に点Cをとり、AC、BCをそれぞれ1辺とすると正方形をつくる。この2つの正方形の面積の和が40㎠となるとき、ACの長さを求めなさい。ただし、AC＜BCとする。
（3）下の図のように、AC=BC=12㎝の直角二等辺三角形ABCがある。辺AB上に点Dをとり、辺BCと辺ACに対しそれぞれ垂線をひいた。四角形DECFの面積が35㎠となるとき、辺AFの長さを求めなさい。ただし、DE>DFとする。
練習問題の解答＆解説
（1）ある正方形の縦の長さを2㎝短くし、横の長さを5㎝長くして長方形をつくったところ面積が30㎠になった。もとの正方形の1辺の長さを求めなさい。
答え
$$5㎝$$
もとの正方形の1辺の長さを\(x\)とすると
長方形の縦の長さは、\(x-2\)
長方形の横の長さは、\(x+5\) と表すことができます。
$$\begin{eqnarray}(x-2)(x+5)&=&30\\[5pt]x^2+3x-10&=&30\\[5pt]x^2+3x-40&=&0\\[5pt](x+8)(x-5)&=&0\\[5pt]x=-8,5&&\end{eqnarray}$$
\(x=-5\) は図形の長さとして条件に合わないので、\(x=5\) となります。
（2）下の図のように、長さ8㎝の線分ABがある。この線分AB上に点Cをとり、AC、BCをそれぞれ1辺とすると正方形をつくる。この2つの正方形の面積の和が40㎠となるとき、ACの長さを求めなさい。ただし、AC＜BCとする。
答え
$$2㎝$$
ACの長さを\(x\) とすると、BCの長さは\(8-x\) と表すことができます。
すると、それぞれの正方形の面積は、\(x^2\)、\((8-x)^2\)と表せることから方程式をつくっていきましょう。
$$\begin{eqnarray}x^2+(8-x)^2&=&40\\[5pt]x^2+64-16x+x^2&=&40\\[5pt]2x^2-16x+24&=&0\\[5pt]x^2-8x+12&=&0\\[5pt](x-6)(x-2)&=&0\\[5pt]x=2,6&&\end{eqnarray}$$
AC＜BCであるから、\(x=6\) は条件に合いませんね。
よって、\(x=2\) となります。
（3）下の図のように、AC=BC=12㎝の直角二等辺三角形ABCがある。辺AB上に点Dをとり、辺BCと辺ACに対しそれぞれ垂線をひいた。四角形DECFの面積が35㎠となるとき、辺AFの長さを求めなさい。ただし、DE>DFとする。
答え
$$5㎝$$
△ADFが直角二等辺三角形であることに気が付けるかどうかがポイントとなります。
AFの長さを\(x\)とすると、\(AF=DF\)より、\(DF\)の長さも\(x\)と表すことができます。
さらに、FCの長さも\(x\)を使って表すことができるので
これらを用いて方程式をつくっていきましょう。
$$\begin{eqnarray}(12-x)x&=&35\\[5pt]-x^2+12x-35&=&0\\[5pt]x^2-12x+35&=&0\\[5pt](x-5)(x-7)&=&0\\[5pt]x=5,7&&\end{eqnarray}$$
DE>DFという条件から、\(x=7\) は合わないので \(x=5\)となります。
